Скрытые параметры и пределы  применимости  квантовой механики.

 

Н.Т. Сайнюк

В работе показано, что в качестве скрытого параметра в квантовой механике, может быть использован ненулевой размер элементарных частиц. Это позволило объяснить фундаментальные физические понятия, используемые в теории  волны де Бройля, корпускулярно-волнового дуализм, спин.  Также была показана возможность применения математического аппарата теории для описания движения макротел в гравитационном поле. Предсказано существование дискретных колебательных спектров у элементарных частиц. Рассмотрен вопрос об эквивалентности инертной и гравитационных масс.

 

 

Несмотря на почти столетнее существование квантовой механики, споры о полноте этой теории не утихают и до сегодняшнего дня. Успехи квантовой механики в отражении существующих закономерностей в области субатомного мира несомненны. Вместе с тем некоторое физические понятия, которыми оперирует квантовая механика, как корпускулярно-волновой дуализм, соотношение неопределенности Гейзенберга, спин  и др. остаются непонятыми и не находят должного обоснования в пределах этой теории.  Среди ученых распространено мнение, что проблема обоснования квантовой механики тесно связана со скрытыми параметрами, то есть физическими величинами, которые реально существуют, определяют результаты эксперимента, но по каким то причинам не могут быть обнаружены. В данной работе на основании проведения аналогии с классической физикой показано, что на роль скрытого параметра может претендовать ненулевой размер элементарных частиц.

 

Траектория в классической и квантовой физике.

 

Представим материальное тело, обладающее массой покоя, к примеру, ядро, летящее в пространстве со скоростью  на достаточно большом удалении от других тел, чтобы их влияние можно было исключить. В классической физике такое состояние  тела описывается траекторией, которая устанавливает нахождения его центральной точки в пространстве в каждый момент времени и определяется функцией:

              (1)

Насколько точно такое описание? Как известно, любое материальное тело, обладающее массой покоя, имеет гравитационное поле, которое распространяется на бесконечность и которое никак нельзя отделить от тела, поэтому его следует считать составной частью материального объекта. В классической физике при определении траектории, как правило, потенциальным полем пренебрегают из-за его малого значения. И это является первым приближением, которое допускает классическая физика. Если бы попытались потенциальное поле учесть, то такое понятие как траектория  исчезло бы. Нельзя приписать траекторию бесконечно большому телу и формула (1) потеряла бы всякий смысл. Кроме того, любое материальное тело имеет какие то размеры и его также нельзя локализовать в одной точке. Можно говорить только о каком то объеме, которое занимает тело в пространстве или о его линейных размерах . И это является вторым приближением, которое допускает классическая физика, наделяя физические тела траекториями. Существование размеров у материальных тел тянет за собой и другую неопределенность  невозможность точно установить время местонахождения материального тела в пространстве. Это обусловлено тем, что скорость распространения сигналов в природе ограничена скоростью света в вакууме и пока нет достоверно экспериментально установленных фактов, что эту скорость можно существенно превысить.  Это можно сделать только с определенной точностью, нужной световому сигналу, чтобы пройти расстояние равное линейному размеру тела:

        (2)

Неопределенность в пространстве и во времени в классической физике имеет принципиальный характер, ее нельзя обойти никакими уловками. Этой неопределенностью можно только пренебречь,  что повсеместно делается и для большинства практических инженерных расчетов точности и без учета неопределенностей вполне достаточно.

Из выше сказанного можно сделать два выводы:

1.            Траектория в классической физике не является строго обоснованной. Это понятия можно применять только тогда, когда есть возможность пренебречь потенциальным полем материального объекта и его размерами.

2.             В классической физике есть принципиальная неопределенность в определение положения тела в пространстве и во времени обусловленная наличием размеров у материальных тел  и конечной скоростью распространения  сигналов в природе.

Оказывается, что соотношение неопределенности Гейзенберга в квантовой механике также обусловлено этими двумя факторами.

В квантовой механике понятие траектории отсутствует. Казалось бы, этим квантовая  механика устраняет перечисленные выше изъяны классической физики и более адекватно описывает действительность. Это верно только отчасти и имеются весьма существенные нюансы. Рассмотрим этот вопрос на примере, покоящего в какой системе координат электрона. Из классической физики, в частности из закона Кулона, известно, что электрон, обладая электрическим  полем, является бесконечным объектом. И в каждой точке пространства это поле присутствует. В квантовой механике такой электрон описывается волновой функцией , которая также имеет в каждой точке пространства отличное от нуля значение. И в этом плане она правильно отражается тот факт, что электрон занимает все пространство. Но объясняется это по-другому. Согласно копенгагенской интерпретации квадрат модуля волновой функции, в какой то точке пространства,  представляет  собой плотность вероятности обнаружить в этой точке электрон в процессе наблюдения. Верна ли такая интерпретация? Ответ однозначный -  нет. Электрон как бесконечный объект не может быть мгновенно локализован в одной точке. Это напрямую противоречит специальной теории относительности.  Схлопывание электрона в точку возможно только в том случае если бы скорость распространения  сигналов в природе была бесконечной. Пока что подобных фактов экспериментально не обнаружено. В нашем случае реальному полю, квантовая механика сопоставляет вероятность обнаружения электрона, в какой то точке. Очевидно, что такая интерпретация квантовой механики не соответствует реальности, а является только некоторым приближением к ней. И не удивительно, что при описании электрического поля электрона, квантовая механика сталкивается с большими математическими трудностями.   На рассмотренном примере видно, почему это происходит. Закон Кулона  детерминированный закон, тогда как квантовая механика использует вероятностный подход.  В данном случае классическая физика более адекватна. Она позволяет определить напряженность электрического поля в любой области пространства. Все, что для этого необходимо -  это указать в законе Кулона координаты точки, в которой нужно это поле узнать. И здесь мы напрямую сталкиваемся  с вопросом о пределах применимости квантовой механики.  Успехи квантовой теории в различных направлениях столь огромны и предсказания столь точны, что многие задавались вопросом  а существуют ли пределы ее применимости. К сожалению существуют.  Если есть необходимость перейти от вероятностного описания мира к  его детерминированной интерпретации, каким он является на самом деле, то нужно помнить, что именно на этом переходе полномочия квантовой механики заканчиваются. Она блестяще выполнила свою работу. Возможности ее далеко не исчерпаны и она еще многое может объяснить. Но она является только некоторым приближением к действительности, а если судить по результатам, то весьма удачным приближением. Ниже будет показано, почему это стало возможным.

Волновые свойства частиц, корпускулярно-волновой дуализм
в квантовой механике.

Наверное, это самый запутанный вопрос в квантовой теории. Работ написанных на эту тему и высказанных мнений не счесть. Эксперимент однозначно утверждает -  явление существует, но оно столь непонятно, мифично и не объяснимо, что послужило даже поводом для шуток  будто бы частица по собственной прихоти в одни дни недели ведет себя как корпускула, а в другие как волна. Покажем, что существование скрытого параметра  ненулевого размера частиц позволяет  объяснить это явление. Начнем из соотношения неопределенности Гейзенберга. Оно также многократно подтверждено экспериментом, но и оно не находит  должного обоснования в пределах квантовой теории. Воспользуемся выводами из классической физики, что для возникновения неопределенности необходимо наличие двух факторов и посмотрим, как эти факторы реализуются в квантовой теории. Относительно скорости света можно сказать, что она органически встроена в структуры теории и это понятно, поскольку почти все процессы, с которыми имеет дело квантовая механика, релятивистские. И без специальной теории относительности тут просто не обойтись. С другим фактором дела обстоят иначе. Все расчеты в квантовой механике выполнены в предположении, что частицы, с которыми она имеет дело, являются точечными, другими словами второе условия для возникновения соотношения неопределенности отсутствует. Внесем в квантовую механику в качестве скрытого параметра ненулевой размер элементарных частиц. Но как его выбрать? Физики, занимающиеся разработкой теории струн, придерживаются мнения, что элементарные частицы не являются точечными, но проявляется это только  при значительных энергиях. Можно ли использовать эти размеры в качестве скрытого параметра. Скорее всего, что нет по двум причинам. Во-первых, эти предположения не совсем  обоснованы, а с другой стороны, энергии с которыми работают разработчики струнной теории столь большие, что эти представления трудно проверить экспериментально. Поэтому  кандидата на роль скрытого параметра лучше поискать на низкоэнергетическом уровне, доступном для экспериментальной проверки. Наиболее подходящей кандидатурой для этого является комптоновская длина волны частицы:

         (3)

Она постоянно на виду, приводится во всех справочниках, хотя и не находит должного объяснения. Найдем ей применение и постулируем, что именно  комптоновская длина волны частицы определяет в каком то приближении размер этой частицы. Посмотрим, удовлетворяет ли комптоновская длина волны соотношению неопределенности Гейзенберга. Для того чтобы пройти расстояние равное  со скоростью света необходимо время:

       (4)

Подставляя (4) в (3) и учитывая, что  получаем:

   (5)

Как видно в данном случае соотношение неопределенности Гейзенберга выполняется точно. Приведенные выше рассуждения нельзя рассматривать как обоснование или вывод соотношения неопределенности. Здесь только констатируется тот факт, что условия возникновения неопределенности, как в классической физике, так и в квантовой теории абсолютно  одинаковы.

Рассмотрим прохождение частицы со скоростью , обладающей размерами комптоновской длины волны, через узкую щель. Время прохождения частицы через щель определяется выражением:

          (6)

Благодаря своему потенциальному полю, частица будет взаимодействовать со стенками щели, и испытывать некоторое ускорение. Пускай это ускорение будет небольшим и скорость частицы после прохождения щели, как и прежде можно считать равной . Ускорение частицы вызовет волну возмущения собственного поля, которая будет распространяться со скоростью света. За время прохождения частицей щели эта волна распространится на расстояние:

     (7)

Подставляя в выражение (7) выражения (3) и (6) получим:

        (8)

Таким образом,  введение в квантовую механику в качестве скрытого параметра ненулевого размера частиц позволяет автоматически получить выражения для длины волны де Бройля.  Получить то, что квантовая механика вынуждена была брать из эксперимента, но никак не могла это обосновать. Становится очевидным, что волновые свойства частиц обусловлены только их потенциальным полем, а именно возникновением волны возмущения собственного  поля или как это принято называть запаздывающего потенциала при их ускоренном движении. Исходя из выше сказанного, можно также утверждать, что выражение для волны де Бройля (8) это отнюдь не статистическая функция, а реальная волна все характеристики, которой можно при необходимости рассчитать исходя из представлений классической физики. Что в свою очередь является еще одним доказательством того, вероятностная интерпретация квантовой механикой физических процессов, происходящих в субатомном мире неверна. Теперь уже есть возможность раскрыть физическую суть и корпускулярно-волнового дуализма. Если потенциальное поле частицы слабое и им можно пренебречь, то в таком случае частица ведет себя как корпускула и ей смело можно приписывать траекторию. Если потенциальное поле частиц сильное и им уже нельзя пренебречь, а именно такие электромагнитные поля действуют в атомной физике, то в этом случае нужно быть готовым к тому, что частица проявит свои волновые свойства в полной мере. Т.е. один из основных парадоксов квантовой механики о корпускулярно волновом дуализме оказался легко разрешим благодаря существованию скрытого параметра  ненулевого размера элементарных частиц.

Дискретность в квантовой и классической физике.

Почему-то принято считать, что дискретность характерна только для квантовой физики, а в классической физике такое понятие отсутствует. На самом деле все не так. Любой музыкант знает, хороший резонатор настроен только на одну частоту и ее обертоны, количество которых можно также описывать целочисленными значениями  =1, 2, 3… . То же самое происходит и в атоме. Только в этом случае вместо резонатора имеется потенциальная яма. Двигаясь в атоме по замкнутой орбите ускоренно, электрон непрерывно порождает волну возмущения собственного поля.  При определенных условиях (расстояние орбиты от ядра, скорости электрона) для этой волны могут выполниться условия для возникновения стоячих волн. Непременным условием возникновения стоячих волн является то, чтобы на длине орбиты укладывалось равное количество таких волн. Возможно, именно такими соображениями руководствовался Бор, формулируя свои постулаты относительно строения атома водорода. Это подход основан полностью  на представлениях классической физики. И он смог объяснить дискретный характер энергетических уровней в атоме водорода. Физического смысла в идеях Бора было больше, чем в квантовой механике.   Но и постулаты Бора,  и решение уравнения Шредингера для атома водорода давали совершенно одинаковое результаты относительно  дискретных энергетических  уровней. Расхождения начались, когда потребовалось объяснить   тонкую структуру  этих спектров. В этом случае квантовая механика оказалась более чем успешной и работы над развитием идей Бора были прекращены. Почему квантовая механика вышла победительницей? Дело в том, что, находясь на стационарной орбите в условиях, когда возможно образование стоячих волн, электрон проходит один и тот же путь многократно.  Проследить за движением электрона в связанном состоянии на микроскопическом уровне никакой экспериментальной возможности нет. Поэтому применение здесь статистических методов вполне оправдано, и интерпретация образования пучностей на орбите, как наибольшей вероятности нахождения в этих точках электрона имеет под собой веские основания, что, собственно, и делает квантовая теория при помощи волновой функции и уравнения Шредингера. И в этом скрыта причина успешного применения вероятностного подхода для описания физических явлений, происходящих в атомной физике. Здесь рассмотрен только один, наиболее прострой пример. Но условия для возникновения стоячих волн могут возникнуть и в более сложных системах. И с этими вопросами квантовая механика также хорошо справляется. Можно только восхищаться учеными, которые стояли у истоков квантовой физики. Работая в период разрушения привычных понятий, в условиях дефицита объективной информации они сумели каким-то невероятным образом прочувствовать суть происходящих  на микроскопическом уровне процессов и выстроили такую успешную и красивую теорию, какой является квантовая механика. Очевидно и другое, что нет никаких принципиальных препятствий, получить те же самые результаты и в пределах классической физики, ведь такое понятие, стоячая волна для нее хорошо знакомо.

 

Квант минимального действия в квантовой механике и в
классической физике.

 

Впервые квант минимального действия был применен Планком в 1900 году для объяснения  излучения черного тела. С тех пор постоянная введенная Планком в физику, в последствие получившая название в честь автора как постоянная Планка, прочно заняла свое почетное место  в субатомной физике и встречается почти во всех математических выражениях, которые здесь используются. Возможно, это был самый значительный удар для классической физики и сторонников детерминизма, которые не смогли этому ничего противопоставить. И действительно, такое понятие как минимальный квант действия в классической физике отсутствует. Означает ли это, что его там не может быть в принципе и это вотчина только  области микромира? Оказывается, что  и для макротел, обладающих потенциальным полем также можно использовать квант минимального действия, который определяется выражением:

       (9)

где   -      масса тела

 - диаметр этого тела

 -       скорость света

Выражение (9) в данной работе постулируется и требует экспериментальной проверки. Использование этого кванта действия  в уравнении Шредингера,  позволяет показать, что орбиты планет солнечной системы также квантуются, как и орбиты электрона в атомах. В классической физике уже нет необходимости  брать значение кванта минимального действия из эксперимента. Зная массу и размеры тела, его значение можно однозначно рассчитать. Более того, выражение (9) справедливо и для квантовой механики. Если в формулу (9) вместо диаметра макротела подставить выражение, определяющее размер микрочастицы (3), то получим:

 

Таким образом,  значение постоянной Планка, которое используется в квантовой механике, является всего лишь частным случаем выражения (9) применяемого  в области макромира.  Попутно заметим, что в случае квантовой механики  в выражении (9) содержится скрытый параметр  размер частицы. Возможно именно поэтому, постоянная Планка не была понята в классической физике, да и квантовая механика не могла объяснить, что это такое, а просто использовала ее значение, взятое из эксперимента.

 

Квантовые эффекты в гравитации.

 

Введение в квантовую механику в качестве скрытого параметра, ненулевого размера элементарных частиц, позволило определить, что волновые свойства частиц обусловлены исключительно потенциальным полем этих частиц. Макротела, обладающие массой покоя, также имеют потенциальное поле  гравитационное. И если выводы, сделанные выше, верны, то квантовые эффекты должны наблюдаться и в гравитации.  Используя выражение для минимального кванта действия (9),  сформулируем уравнение Шредингера для планеты, которая движется в гравитационном поле Солнца.  Оно имеет вид:

 

            (10);

 

где     m      -          масса  планеты;

          M      -          масса Солнца;

          G      -           гравитационная постоянная.

 

Процедура решение уравнения (10) ничем не отличается от процедуры решения уравнения Шредингера для атома водорода. Это позволяет избежать громоздких математических выкладок  и решения (10) можно сразу выписать:

 

                                          (11)

 

Где      

 

Поскольку наличие траекторий у планет, движущихся на орбите вокруг Солнца не вызывает сомнений, то выражение (11) удобно преобразовать и представить его через квантовые радиусы орбит планет. Учтем, что в классической физике энергия планеты на орбите определяется выражением:

                        (12);

Где      -      средний радиус орбиты планеты.

Приравнивая (11) и (12) получим:

 

                         (13);

Квантовая механика, не дает возможности однозначно ответить, в каком возбужденном состоянии может находиться связанная система. Она только позволяет  узнать все возможные   состояния и вероятности нахождения в каждой из них. Формула  (13) показывает, что для любой планеты существует бесконечное число дискретных орбит, на которых она может находиться. Поэтому можно попробовать определить главные квантовые числа планет, сравнивая расчеты, произведенные  по формуле (13) с наблюдаемыми радиусами планет. Результаты этого сравнения представлены в таблице 1. Данные о наблюдаемых значениях параметров орбит планет взяты из [1].

 

                            Таблица 1.

 

Планета	Фактический радиус орбиты R млн. км.	Результат вычислений   млн. км	n	Ошибка млн. км.		Относительная ошибка  %
Меркурий	57.91	58.6	12	0.69		1.2
Венера	108.21	122.5	7	14.3		13.2
Земля	149.6	136.2	7	-13.4		-8.9
Марс	227.95	228.2	17	0.35		0.15
Юпитер	778.34	334.3	1	-444		-57
Сатурн	1427.0	920	2	-507		-35
Уран	2870.97	2816	8	-54.9		-2
Нептун	4498.58	4888.4	10	+389	8
Плутон	5912.2	5931	256	18.8	0.3

 

Как видно из таблицы 1, каждой планете можно приписать какое то главное квантовое число. И эти числа довольно малые по сравнению с тем, которые можно было бы получить, если в уравнении Шредингера вместо кванта минимального действия, определяемой по формуле (9) была бы использована постоянная Планка, обычно  применяемая в квантовой механике.  Хотя расхождения между расчетными значениями и наблюдаемыми радиусами орбит планет достаточно  большое.  Возможно, это обусловлено тем, что при выводе формулы  (11) не было учтено взаимное влияние планет, приводящие к  изменению их орбит. Но показано главное орбиты планет солнечной системы квантуются, подобно тому, как это имеет место в атомной физике. Приведенные данные однозначно свидетельствуют, что квантовые эффекты имеют место и в гравитации.

Имеются также и экспериментальные подтверждения этому. В. Несвижевскому с коллегами из Франции удалось  показать, что нейтроны, движущиеся в поле тяготения, обнаруживаются только на дискретных высотах [3].  Это прецизионный эксперимент. Трудность проведения таких экспериментов состоит в том, что волновые свойства нейтрона обусловлены его гравитационным полем, которое очень слабое.

Таким образом, можно утверждать, что создание теории квантовой гравитации возможно, но следует учитывать, что элементарные частицы имеют ненулевой размер, и минимальный квант действия в гравитации определяется выражением (9).

 

Спин частиц в квантовой механике и классической физике.

 

В классической физике каждое вращающееся тело обладает внутренним моментом количества движения, который может принимать любое значение.

В субатомной физике экспериментальными исследованиями также подтверждается факт существования у частиц внутреннего момента количества движения, называемого спином. Считается, однако, что в квантовой механике спин нельзя выразить через координаты и импульс, поскольку для любого допустимого радиуса частицы, скорость на ее поверхности будет превышать скорость света и, следовательно, такое представление неприемлемо [2]. Введение в квантовую физику ненулевого размера частиц позволяет несколько прояснить этот вопрос.  Воспользуемся для этого представлениями теории струн и представим частицу, диаметр которой равен комптоновской  длине волны, в виде замкнутой в трех мерном пространстве струны, по которой циркулирует со скоростью света поток какого-то поля. Поскольку любое поле обладает энергией и импульсом, то можно с полным основанием приписать этому полю импульс, связанным с массой это частицы:

 

                  (14)

Учитывая, что радиус циркуляции поля вокруг центра равен  , получаем выражение для спина:

            (15)

 

 

Выражение  (15) справедливо только для фермионов и не может считаться обоснованием существования спина у элементарных частиц. Но оно позволяет понять, почему частицы, имеющие разную массу покоя, могут иметь одинаковый спин. Это обусловлено тем, что при изменении массы частицы, изменяется соответственно   и комптоновская длина волны, и выражение (15) остается без изменений. Это не находило объяснения в квантовой механике и значения для спина частиц  брались из эксперимента.

 

 

Колебательные спектры элементарных частиц.

 

В предыдущей главе, при рассмотрении вопроса о спине, частицу, имеющую размер равный комптоновской длине волны, было представлено в виде замкнутой в трех мерном пространстве струны. Такое представление позволяет показать, что в элементарных частицах могут возбуждаться дискретные колебательные спектры.

Рассмотрим взаимодействие двух одинаковых замкнутых струн с массами покоя , движущихся навстречу друг другу со скоростью . От начала столкновения и до полной остановки струн пройдет некоторое время  , обусловленное тем, что скорость передачи импульса внутри струн не может превысить скорость света. За это время кинетическая энергия струн будет переходить в потенциальную энергию,  за счет их деформации. В момент остановки струны ее полная энергия будет состоять из суммы  энергии покоя и потенциальной энергии запасенной во время столкновения. В дальнейшем, когда струны начнут двигаться  в обратном направлении, часть потенциальной энергии будет израсходована на возбуждение собственных колебаний струн. Самый простой вид колебаний при низких энергиях, который  может возбуждаться в струнах, можно представить в виде гармонических колебаний. Потенциальная  энергия струны при отклонении от состояния равновесия на величину  имеет вид.

         (16)

                                              k - коэффициент упругости струны

Уравнение Шредингера для стационарных состояний гармонического осциллятора запишем в виде:

          (17)

 

Точное решение уравнения (17) приводит к следующему выражению для дискретных значений :

, где  0, 1, 2, …   (18)

В формуле (18) неизвестный коэффициент упругости элементарных частиц k. Его можно приближенно рассчитать исходя  из следующих соображений. При столкновении частиц в момент их остановки вся кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию. Поэтому можно записать равенство: 

                                                   (19)

Если импульс  внутри  частицы передается с максимально возможной скоростью равной скорости света, то от момента начала столкновения и до момента расхождения частиц пройдет время  нужное для того, чтобы импульс распространился по диаметру всей частицы, равной комптоновской длине волны:

           

           (20)

За это время отклонение струны от равновесного состояния вследствие деформации может  составлять:

 

         (21)

С учетом (21) выражение (19) можно записать в виде:

          (22)

Откуда:

          (23)

Подставляя (23) в (18) получаем выражение для возможных значений , пригодное для практических вычислений:

       где , 1, 2, …      (24)

В таблицах (2, 3) представлены значения  для электрона и протона, рассчитанных по формуле (24). В таблицах указаны также энергии, высвобождаемые при распаде возбужденных состояний при переходах  и полные энергии частиц в возбужденном состоянии . Все экспериментальные значения масс покоя частиц взяты из [2].

 

     Таблица 2. Колебательный спектр электрона  е (0,5110034 МэВ.)

 

 

Главное Квантовое Число n	МэВ	МэВ	МэВ
0	0,041		0,552
1	0,122	0,081	0,633
2	0,203	0,162	0,714
3	0,285	0,244	0,796
4	0,366	0,325	0,877
5	0,448	0,407	0,959
6	0,529	0,488	1,040
7	0,610	0,569	1,121
8	0,692	0,651	1,203
9	0,773	0,732	1,284
10	0,854	0,813	1,365
…	…	…	…

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 3. Колебательный спектр протона P (938,2796 МэВ )

 

Главное Квантовое число n	МэВ	МэВ	МэВ
0	74,69		1012,97
1	224,26	149,58	1162,50
2	373,47	298,78	1311,75
3	522,67	447,97	1460,95
4	672,8	598,11	1611,08
5	822,0	747,31	1760,28
6	971,2	896,51	1909,48
7	1120,4	1045,72	2058,68
8	1270,54	1195,85	2208,82
9	1419,74	1345,05	2358,02
10	1568,94	1494,25	2507,22
11	1718,14	1643,45	2656,42
12	1867,34