КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ДЛЯ МАКРОТЕЛ, ИМЕЮЩИХ ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ПОЛЕ.

 

                                                  Сайнюк Н.Т.

В работе сделана попытка более конкретно рассмотреть идею  о полевом строении вещества. В частности, сформулированы два постулата, согласно которым, элементарные частицы являются вихрями полей. На основании этих постулатов показано, что волновыми свойствами обладают все макротела, имеющие потенциальное поле, независимо от характера этого поля, и длина волны де Бройля этих тел значительно больше, чем считалось раньше. Рассмотрена возможность применения математического аппарата квантовой механики для изучения волновых свойств макротел. В качестве примера, приведено решение уравнения Шредингера для планет солнечной системы. Получен дискретный спектр энергии, который удовлетворительно согласуется с наблюдаемыми значениями энергий планет Солнечной системы.

1. Волновые свойства макротел, имеющих потенциальное поле.

Согласно современным представлениям, все микрочастицы обладают волновыми свойствами, которые характеризуются длиной волны де Бройля, определяемой выражением (1).                                                                                                                                                                                                                                                   (1) , где

                      h  -  постоянная Планка, 

                      m -   масса частицы,                             

                       -   скорость.

Как  видно из (1), для макротел с большой массой длина волн де Бройля очень мала и их, как правило, не учитывают. Идея о полевом строении вещества позволяет рассмотреть вопрос о волновых свойствах тел с более общих позиций и показать, что для больших тел с потенциальным полем выражением (1) нельзя пользоваться. 

Сформулируем два постулата:

1. Элементарные частицы состоят из вихрей полей, которые циркулируют со скоростью света  с в замкнутом объеме.

2. Вихревая циркуляция поля внутри частицы порождает циркуляцию радиального поля, которое также циркулирует со скоростью света и образуют потенциально поле. Максимум радиального потенциального поля находится на шаре, диаметр которого d  равный комптоновской длине волны частицы.

                                                                                       

                 (2)  ,  где h  постоянная Планка,
                                     m  масса частицы,   

                                     с  скорость света.                                                  

Как видно, приведенные формулировки постулатов довольно расплывчаты и сами по себе могут вызвать много возражений. Но представим на время, что они верны.

Диаметр частицы или макротела, где потенциальное поле имеет максимум напряженности, в данной работе будет называться ядром d. Понятно, что диаметр ядра d и физический диаметр, за исключением поверхностно заряженных тел, не совпадают между собой.

Рассмотрим движение микрочастицы, обладающей каким-то потенциальным полем с ядром d , скоростью  в близи тонкого экрана. При этом частица, как многократно подтверждено экспериментами, будет отклоняться от своей прежней траектории, попадая в различные точки мишени, расположенной позади экрана, образуя при многократном повторении этого эксперимента дифракционную картину. Подобные эксперименты привели исследователей к мысли, что все микрочастицы обладают волновыми свойствами, которые характеризуются длиной волны де Бройля (1). Проанализируем этот эксперимент с точки зрения постулатов о полевом строении элементарных частиц. Частица,  движущаяся в близи экрана, при взаимодействии с атомами экрана будет испытывать какое-то ускорение. Ускоренное движение частицы, вследствие ограниченной скорости передачи взаимодействия в природе, равной скорости света, приведет к возникновению волны возмущения собственного потенциального поля частицы. Определим расстояние  на которые распространиться волна возмущения, если частица, двигаясь ускоренно с какой-то средней скоростью  пройдет расстояние равное диаметру ядра d.

                                                 (3)

Используем второй постулат и вместо d подставим в выражении (3) его значение из (2), тогда (3) примет вид:

                          ,

что в точности совпадает с волной де Бройля(1), но здесь эта волна имеет место только при ускоренном движении частиц, а скорость  является только средней скоростью. Это не случайное совпадение. Как раз возникновение волны возмущения потенциального поля  при ускоренном  движении частицы и приводит  к проявлению её волновых свойств. При равноускоренном движении частицы по окружности, к примеру, движении электрона в центральном поле ядра, суперпозиция непрерывно возникающих волн возмущения приводит к образованию максимума амплитуды, который располагается в промежутке определяемой длиной волны де Бройля (3) или (1). Если длина волны де Бройля укладывается равное число раз в длину орбиты, по которой движется электрон, то возникают условия резонанса, что в свою очередь приводит  к квантованию энергетических уровней электрона. Таким образом, одним из следствий постулатов о полевом строении материи,   является существование волновых свойств у элементарных частиц. Отметим, что волновые свойства частиц  проявляются только при ускоренном движении, когда частица испытывает взаимодействие. Если движение равномерное, то волны возмущения потенциального поля не возникает и волновые свойства частиц не проявляются. Этот вывод подтверждается экспериментами по рассеянию электронов на кристаллической решетке. В этом случае отклонение электрона от первоначальной траектории обусловлено взаимодействием его потенциального поля с атомами кристалла, где и проявляются его волновые свойства. При выходе из кристаллической решетки электрон движется равномерно и,  ударяясь о мишень, чертит на фотопластинке отдельную точку, как корпускула,  а не воссоздает всей дифракционной картинки, как это имеет место в случае отдельного фотона. С другой стороны, если постулаты, приведенные в данной работе верны, то, аналогичным образом, можно прийти к выводу о существовании волновых свойств у всех макротел, имеющих потенциальное поле. В этом случае, каждое макротело можно рассматривать, как совокупность большого числа вихрей полей создающих вокруг себя суммарное потенциальное поле, которое также характеризуется ядром d , где напряженность этого поля максимальна. Тогда длину волны де Бройля такого макротела можно вычислить по формуле (3). Отметим, что для микрочастиц выражения (3) и (1), в силу второго постулата, дают одинаковое значение длины волны де Бройля. Тогда, как для макрообъектов, вследствие, больших значений диаметра ядра d , разница в значениях очень существенна. К примеру, для Земли, движущейся вокруг Солнца со скоростью 30 км/сек., , вычисленная по формуле (1) -  равна  м., а по формуле (3)- . Разница существенна и составляет 74 порядка. Таким образом, для макротел, при определении длины волны де Бройля, следует использовать выражение (3). 

2. Обобщенное уравнение Шредингера        для      стационарных состояний. 

 Как известно, представления о волновых свойствах микрочастиц, привели к созданию квантовой механики, которая нашла очень широкое применение в области субатомной физики, демонстрируя при этом хорошее совпадение результатов расчетов с экспериментальными данными. Применение квантовой механики для макрообъектов считалось нецелесообразным, поскольку длина волны де Бройля таких тел микроскопична, из-за чего их волновые свойства почти не проявляются. И, действительно, если решить уравнение Шредингера (4) для планеты, которая движется по орбите в гравитационном поле Солнца, то получим почти непрерывный спектр энергий, и никакой новой информации по сравнению с тем, что уже известно из классической физики это не даст.                                                      

           (4)

В главе 1. было показано, что на самом деле длина волны де Бройля для макротел намного больше, чем это следует из выражения (1). Поэтому возникает необходимость изменить уравнение (4) таким образом, чтобы оно адекватно отражало реальность, как в области субатомной физики, так и для всех макротел, имеющих потенциальное поле.  Это можно сделать, если ввести в квантовую механику вместо постоянной Планка  h её более  общий аналог .  Для этого установим формальную зависимость волны де Бройля в выражении (3) от импульса, умножив обе части дроби на массу тела m .

  .        (5)

В формуле (5) сделано обозначение:

        (6)

 в нашем случае не просто обозначение, а имеет самостоятельный  физический смысл  она и  является более общей формулировкой постоянной Планка h.

Нетрудно убедиться, что для субатомной физики, учитывая второй постулат и формулу  (2),  равняется постоянной Планка h.  Для всех остальных случаев  и может принимать любые значения в пределах .

Таким образом, замена постоянной Планка её аналогом  не приводит к каким либо изменениям в области традиционного применения квантовой механики и все полученные  ранее в рамках этой теории результаты остаются в силе.  Тогда, как для макротел, имеющих потенциальное поле, ситуация не столь однозначна.  Выпишем из квантовой механики [1] выражение для плоской волны де Бройля

                      

                      

 (7)

Произведем в выражении (7) замену  на 

и получим

 (8)

 

 

Произведенную замену нельзя строго обосновать. Окончательный ответ о возможности подобной замены может дать только экспериментальная проверка предложенных в данной работе постулатов о полевом строении элементарных частиц. Единственное, на что необходимо обратить внимание, это то, что произведенная замена не нарушает основных требований, предъявляемых к волновой функции. Как видно из (8), условия конечности, однозначности, непрерывности и гладкости для волновой функции будут сохраняться, если . Это в свою очередь означает, что для всех возможных макрообъектов, начиная от крупных молекул и до скоплений галактик, при изучении их волновых свойств, можно использовать математический аппарат квантовой механики. Поэтому, не вдаваясь в подробности, выпишем необходимые в дальнейшем операторы в обобщенном виде, заменяя в них постоянную Планка её аналогом  

Проекции оператора импульса в обобщенной форме принимают вид:

                  (9)

Обобщенный оператор кинетической энергии

 (10)

Обобщенный оператор полной энергии

 (11)

Уравнения на собственные функции собственные значения

 (12)

Подставляем в (12) (11), получим

 (13)

Это уравнение идентично уравнению Шредингера (4), но в отличие от него  уже не является равной постоянной Планка , а может принимать любое фиксированное значение в пределах  в зависимости от конкретной решаемой задачи. В интерпретации (13) уравнение Шредингера пригодно для описания физических явлений, как в субатомной физике, так и для макротел, имеющих потенциальное поле. 

                  3. Квантовые эффекты в гравитации.

Проверим уравнение (13) на соответствие действительности. Для этого, в качестве примера, рассмотрим движение планеты в гравитационном поле Солнца. Такую систему нельзя считать полностью изолированной, поскольку каждая из планет будет испытывать на себе влияние остальных. Однако это влияние приводит только к незначительному изменению параметров орбиты, и при расчетах взаимное влияние планет можно не учитывать.

Определим значение  для рассматриваемого случая, воспользовавшись выражением (6)

 (14)

Где m  масса планеты,

      d  диаметр ядра планеты, где напряженность поля имеет максимум,

     с - скорость света в вакууме.

Потенциальная энергия гравитационного поля равна:

 (15)

Где G  гравитационная постоянная,

       M  масса Солнца,

       r  радиус орбиты планеты,

       m  масса планеты.

С учетом (14) и (15) уравнение (13) принимает вид:

 (16)

Процедура решения уравнения (16) ничем не отличается от решения уравнения (4) для атома водорода. Поэтому можно было бы сразу выписать его решение. Но поскольку  в данном случае рассматривается такой огромный, по сравнению с атомом, объект, как солнечная система, приведем процедуру решения уравнения (16) полностью, чтобы убедиться, что здесь не возникает никаких неожиданных ситуаций. Поскольку выражение (15) сферически симметрично, решать уравнение (16) удобно в сферической системе координат. Рассмотрим простой случай, когда  функция зависит только от r. При этом часть решений уравнения (16) будет потеряна, но это не скажется на значениях уравнений энергии.

Воспользуемся выражением оператора Лапласа в сферических координатах, когда   зависит только от r

 (17)

Подставим (17) в уравнение (16)

 

Обозначим  и , получим

 

Где    ;        (18)

Чтобы упростить (18), произведем замену переменных.

Обозначим  (19)

Тогда         

                (20)

Подставим (20) в (18), получим                                               

 (21)

Используем поведение функции U(r) на бесконечности.

При  членом   можно пренебречь по сравнению с  . поэтому при больших  вместо (21) получим

 

Решение этого уравнения имеет вид

 

Где A и B некоторые константы.

Функция  конечна при всех r лишь в том случае, если B=0. следовательно

 (22)

Функция (22) не является решением уравнения (21), но правильно отражает поведение этого решения на  .

Поэтому будем искать решение уравнения (21) в виде

 (23)

Поскольку поведение U(r) при больших r правильно описывается функцией , то функция  при  должна изменяться медленнее, чем экспонента.

Найдем производные от U

 

(24)

Подставим (24) и (23) в уравнение (21), после приведения подобных членов получим

 (25)

Решение (25) будем искать в виде степенного ряда

 (26)

Подставим (26) в (25), получим

 (27)

Так как равенство (27) должно удовлетвориться тождественно для любых значений , сумма коэффициентов, при любой степени , должна равняться нулю.

Приравняем к нулю сумму коэффициентов при   

 (28)

Из (28) получим рекуррентную формулу для коэффициентов ряда (26)

 (29)

В зависимости от величины  ряд (26) может оказаться бесконечным или может оборваться на некотором n-м члене.

Если ряд не обрывается, то когда  

 (30)

Или   

Такая рекуррентная формула справедлива для ряда

 (31)

Таким образом, если ряд, в который разлагаются функция   не обрывается на некотором n-м члене, то функция  при больших n ведет себя,  как   и, следовательно, функция  растет с увеличением r как , то есть не выполняется условие конечности функции . Поэтому это решение необходимо отбросить.

Рассмотрим случай, когда ряд (26) обрывается на n-м члене. При этом,  для некоторого  n  числитель в (29) должен обращаться в нуль:

 

Таким образом, ряд оканчивается на n-м члене, если

 , где n некоторое целое число (32)

Подставляя в (32) значение  и  из (18), найдем возможные значения энергии, для планет солнечной системы

  (33)

Где  

Как и следовало ожидать, в результате решения уравнения (13) получен дискретный спектр энергий для планет, движущихся в гравитационном поле Солнца. Чтобы убедиться, насколько это соответствует действительности нужно сравнить вычисленные по формуле (33) значения полной энергии  с теми, которые имеются в действительности . Но, к сожалению, сделать это корректно нет возможности. Для того чтобы расчеты, произведенные по формуле (33) были точными, необходимо знать ядра планет d, где напряженность их гравитационного поля будет максимальна. Таких данных найти не удалось. Из общих соображений понятно, что этот диаметр ядра должен быть меньше физического, но насколько, это уже зависит от распределения плотности вещества внутри конкретной планеты.

Поэтому, для того, чтобы определить хотя бы приблизительно, в каком соотношении находятся рассчитанные и наблюдаемые значения энергии для планет солнечной системы, заменим в (33)    на значение физического диаметра планеты, зная наперед, что это только ухудшит точность расчета.

Рассчитанные таким образом значения энергии   приведены в сравнительной таблице (1), где введены следующие обозначения n  главное квантовое число, для которого производился расчет  по формуле (33) .  - наблюдаемое значение полной энергии планеты при ее движении в гравитационном поле Солнца, рассчитанное по известной, из классической физики, формуле    

Где  - гравитационная постоянная,

       - масса Солнца,

        - средний радиус орбиты планеты,

 - абсолютная ошибка,

 - относительная ошибка в процентах %.

Значение энергии  и  приведены в таблице (1) в абсолютных значениях, то есть знак ? - ? упущен.

 

 

 

 

 

 

Таблица 1

Планета	n	эрг	эрг	эрг
Меркурий	12				2.6%
Венера	7				11.3%
Земля	8				15.7%
Марс	17				0.5%
Юпитер	2				41.9%
Сатурн	3				31.3%
Уран	9				19.7%
Нептун	11				8.5%
Плутон	257				0.6%

 

Как видно из таблицы 1, даже не смотря на вынужденную замену d на значение физического диаметра планеты, имеется удовлетворительное согласие рассчитанных значений энергии  с наблюдаемыми в действительности. Разброс относительных ошибок находится в пределах 0,6% ,  41,9%. Таким образом, дискретный характер энергетического спектра планет солнечной системы подтверждается данными астрономических наблюдений.

4. Заключение.

Для того чтобы наглядно продемонстрировать, в чем сходство и в чем различие между традиционной квантовой механикой и ее обобщенным вариантом. Рассмотрим несколько примеров:

 

1.    Постоянная тонкой структуры  

В традиционной квантовой механике - это безразмерная постоянная величина, определяемая тремя фундаментальными константами , которая характеризует силу взаимодействия между электрическими зарядами в атомах.

В обобщенной квантовой механике также имеется аналог постоянной тонкой структуры . Чтобы убедиться в этом, запишем выражение (33) в виде

 где   (34), безразмерная величина - является аналогом постоянной тонкой структуры в обобщенной квантовой механике, и также характеризует силу потенциального взаимодействия тел. В пределах одной конкретной задачи она остается постоянной величиной. При изменении сил взаимодействия, массы исследуемого тела, или параметра  в выражении (3)  меняет  свое численное значение и его каждый раз необходимо определять заново.

2. Комптоновская длина волны.

 (35)

Как в традиционной квантовой механике, так и в обобщенной,   имеет одинаковый физический смысл  она равняется диаметру ядра  тела или частицы. Выражение (35) с учетом (6) можно записать в виде

 , где под ядром тела, как и было условлено в начале работы, понимается диаметр , где потенциальное поле тела или частицы имеет максимум.

3. Гравитационные волны возмущения в Солнечной системе.

В данной работе существование волновых свойств частиц и макротел было однозначным образом связано с существованием волн возмущения потенциального поля. Поэтому важно знать  существуют ли такие волны в действительности? Астрономические наблюдения подтверждают, что волны возмущения существуют. Эти волны при сближении планет вызывают изменение параметров орбит, которые настолько заметны, что астрономы научились их не только наблюдать, но и рассчитывать. Чтобы убедиться в том, что это действительно волны возмущения, проведем мысленный эксперимент  закрепим космический корабль с космонавтом на борту, неподвижно относительно Солнца на длительное время в какой-то точке Солнечной системы. Понятно, что бы этого достичь, необходимо, чтобы двигатели корабля постоянно работали. При приближении планеты, космонавт заметит, что для того, чтобы удержать корабль на месте, ему необходимо увеличить расход топлива, поскольку волна возмущения гравитационного поля планеты будет сносить корабль с ориентированного места. Такие увеличения расхода топлива будут повторяться периодически каждый раз, когда планета, двигаясь по круговой орбите, будет в очередной раз приближаться к космическому кораблю. Размеры такой гравитационной волны впечатляют  ее период  равный периоду вращения планеты вокруг Солнца, а длина волны равна расстоянию, на который распространяется свет за этот период. Тем не менее, это реальность. В атоме такие процессы происходят намного порядков быстрее и в меньших масштабах. Но именно они и определяют дискретный характер энергетических уровней электрона в связанном состоянии.

Выводы и нерешенные проблемы.

1. Предложенный в данной работе вариант обобщенной квантовой механики нуждается в более надежной экспериментальной проверке, чем это было продемонстрировано на примере Солнечной системы. Такие проверочные эксперименты можно было бы провести в лабораторных условиях с поверхностно заряженными телами. В этом случаи диаметр ядра будет совпадать с физическим диаметром исследуемых тел, что позволит корректно сравнивать экспериментальные данные с результатами расчетов. При провидении подобных экспериментов необходимо учитывать, что потенциальное поле заряженных тел должно быть достаточно сильным, чтобы заметным образом взаимодействовать   с атомами мишени. Обойти эту трудность можно, если при изучении явлений дифракции использовать подзаряженные экраны или щели. Это не изменит сути изучаемых процессов, но позволит упростить экспериментальную установку.

2. Обобщенная квантовая механика приводит к дискретному спектру уровней энергии для планет солнечной системы подобно тому, как это происходит с электронами в атомах. Но в атомах возможны и спонтанные переходы электронов с одного уровня на другой, вероятность которых определяется “золотым правилом” квантовой механики  [2]. В связи с этим становится весьма актуальным вопрос о стабильности солнечной системы с точки зрения квантовой механики. Частности, возможны ли в солнечной системе спонтанные переходы планет с одной разрешенной орбиты на другую, какая вероятность таких событий? О катастрофических последствиях подобных переходов и говорить не приходится.

Исходя из этого, экспериментальная проверка обобщенной квантовой механики приобретает весьма важный практический аспект.

3. В основу обобщенной квантовой механики положены представления о волновых свойствах всех тел, имеющих потенциальное поле, которые в свою очередь являются одним из следствий постулатов о полевом строении элементарных частиц. И тот факт, что традиционная квантовая механика, как частный случай обобщенной квантовой теории хорошо согласуется с экспериментальными данными в области субатомной физики, является весомым аргументом в пользу гипотезы о полевом строении нашего мира [3].

Перечень используемых источников информации.

1. Ландау Л Д, Лившиц Е М  Квантовая механика (М.: Физматгиз,1963).

2. Фрауэнфельдер Г, Хенли Э Субатомная физика (Перевод с английского под редакцией В.В. Толмачева Издательство ”Мир” 1979)

3. Сайнюк Н Т  Элементарные частицы как вихри полей (www.mtokma.narod.ru)